Se consideran algunas técnicas de aproximación para derivar una función f(x) dada. Las reglas que resultan son de grande importancia para la solución de ecuaciones diferenciales. Pueden ser utilizadas para obtener aproximaciones numéricas de una derivada a partir de los valores de la función.
Pero el método de diferenciación numérica basado en interpolación numérica es un proceso inestable y no se puede esperar una buena aproximación aun cuando la información original está bien aproximada, por lo que el error f"(x) – p"(x) puede ser muy grande especialmente cuando los valores de f(x) tengan perturbaciones.
Para el caso de una función lineal, ƒ(x) = ax + b, la aproximación dada por la expresión (1) resulta exacta para cualquier valor de h distinto de cero. Pero para cualquier función ƒ en general no siempre resulta exacta.
A continuación se hace una estimación del error asociado a la aproximación dada por (1) usando el teorema de Taylor con un polinomio de grado 1.
La ecuación (3) es más útil que la ecuación (1), ya que tiene un término que cuantifica el error y este se conoce como término de error.
Ejemplo.
Solución:
Se puede obtener otra fórmula para aproximar la derivada usando la ecuación (2),
A la aproximación (1) se le llama fórmula de diferencia hacia delante y a la aproximación dada por (4) se le conoce como fórmula de diferencia hacia atrás, ambas fórmulas presentan el mismo error.
Se puede obtener otra fórmula para aproximar la derivada con un error que involucre h2 usando un polinomio de grado 2 así:
Si se restan las anteriores ecuaciones, se tiene:
Errores por truncamiento y redondeo al aproximar la derivada
Considere la ecuación de diferencias centradas (6).
Como se puede apreciar, tiene una parte debida al error del redondeo y otra al error de truncamiento.
Lo que se debe tener presente es que con la reducción de h no siempre se mejora la aproximación.
Ejercicio:
Error Relativo:
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4.2 Integración numérica
En esta publicación hablaremos de 4 métodos numéricos distintos, los cuales nos sirven para resolver integrales definidas. Estos cuatro métodos son: sumas de Riemann, regla del trapecio, regla de Simpson y, finalmente, el método de Romberg.
SUMA DE RIEMANN
Consiste en trazar un número finito de rectángulos dentro de un área irregular, calcular el área de cada uno de ellos y sumarlos. El problema de este método de integración numérica es que al sumar las áreas se obtiene un margen de error muy grande.
REGLA DEL TRAPECIO
Se basa en aproximar el valor de la integral de f(x) por el de la función lineal, que pasa a través de los puntos (a, f(a)) y (b, f(b)). La integral de esta es igual al área del trapecio bajo la gráfica de la función lineal.
REGLA DE SIMPSON
Hablaremos de dos tipos de relga de Simpson; Simpson 1/3 y Simpson 3/8 . Simpson 1/3 sigue la misma filosofía que la regla del trapecio, lo que cambia es que Simpson 1/3 aproxima los subintervalos de f mediante polinomios de segundo grado. Por otro lado, tenemos la regla de Simpson 3/8, la cual en una manera similar a la regla de Simpson 1/3, un polinomio de tercer orden se puede ajustar a cuatro puntos e integrarse.
ROMBERG
Genera una matriz triangular cuyos elementos son estimaciones numéricas de la integral definida. El método de Romberg evalúa el integrando en puntos equiespaciados del intervalo de integración estudiado. Para que este método funcione, el integrando debe ser suficientemente derivable en el intervalo, aunque se obtienen resultados bastante buenos incluso para integrandos poco derivables.
Justificación y propósito
Como ya se mencionó, el propósito de estos cuatro métodos es, cada uno a su manera, calcular integrales definidas.
Ahora veremos a detalle la justificación de cada uno de estos métodos.
SUMAS DE RIEMANN
sea f(x) una función continua en [a, b]. Sea un conjunto finito de puntos {x0, x1, x2,…xn} tales que a= x0<x1<x2…<xn = b. Consideramos la partición de este intervalo P= {[x0, x1), [x1, x2), … [xn-1, xn]}.
Entonces la suma de Riemann de f(x) es:
donde xi-1 ≤ yi ≤ xi. La elección de yi en este intervalo suele ser arbitraria.
- Si yi = xi-1 para todo i, entonces denominamos S como la suma de Riemann por la izquierda.
- Si yi = xi, entonces denominamos S como la suma de Riemann por la derecha.
REGLA DEL TRAPECIO
Para realizar la aproximación por esta regla es necesario usar un polinomio de primer orden, y esta es representada por:
Entonces, al sustituir en la integral tenemos:
Por último,, al resolver esta integral nos queda:
REGLA DE SIMPSON
Antes de integrar, Simpson 1/3 utiliza la siguiente función para calcular la función perteneciente a los intervalos.
Esto facilita la realización del cálculo para encontrar la integral, ya que siempre es la misma fórmula para obtener el polinomio.
De manera similar, la regla de Simpson 3/8 es:
donde altura = (b-a)/3. Al sustituir h en nuestra ecuación anterior, la regla de Simpson 3/8 puede expresarse también de la siguiente forma:
ROMBERG
Este método mejora el método de la regla del trapecio utilizando la siguiente fórmula:
donde se obtiene una integral mejorada, usando otras dos aproximaciones de trapecios de un nivel menor. Se define como aproximación más exacta a la que haya utilizado mayor número de trapecios. Es importante destacar que este método es recursivo, ya que puedes obtener “x – 1” aproximaciones de nivel mayor si obtienes “x” aproximaciones de un nivel mayor.
Diagrama de flujo
SUMAS DE RIEMANN
REGLA DE TRAPECIO
REGLA DE SIMPSON
ROMBERG
4.3 Integración múltiple
De la misma manera en que la integral de una función positiva f (x) de una variable definida en un intervalo puede interpretarse cómo el área entre la gráfica de la función y el eje x en ese intervalo, la doble integral de una función positiva f (x, y) de dos variables, definida en una región del plano xy, se puede interpretar como el volumen entre la superficie definida por la función y el plano xy en ese intervalo. Al realizar una "integral triple" de una función f (x, y, z) definida en una región del espacio xyz, el resultado es un hipervolumen, sin embargo es bueno notar que si f (x, y, z) = 1 el resultado se puede interpretar como el volumen de la región de integración. Para integrales de órdenes superiores, el resultado geométrico corresponde a hipervolúmenes de dimensiones cada vez superiores.
La manera más usual de representar una integral múltiple es anidando signos de integración en el orden inverso al orden de ejecución (el de más a la izquierda es el último en ser calculado), seguido de la función y los diferenciales en orden de ejecución. El Dominio de Integración se representa simbólicamente para cada diferencial sobre cada signo de integral, o a menudo es abreviado por una letra en el signo de integral de más a la derecha:
Es importante destacar que es imposible calcular la antiderivada de una función de más de una variable por lo que las integrales múltiples indefinidas no existen.
4.4 Aplicaciones
En general, estos métodos se aplican cuando se necesita un valor numérico como solución a un problema matemático, y los procedimientos "exactos" o "analíticos" (manipulaciones algebraicas, teoría de ecuaciones diferenciales, métodos de integración, etc.) son incapaces de dar una respuesta. Debido a ello, son procedimientos de uso frecuente por físicos e ingenieros, y cuyo desarrollo se ha visto favorecido por la necesidad de éstos de obtener soluciones, aunque la precisión no sea completa. Debe recordarse que la física experimental, por ejemplo, nunca arroja valores exactos sino intervalos que engloban la gran mayoría de resultados experimentales obtenidos, ya que no es habitual que dos medidas del mismo fenómeno arrojen valores exactamente iguales.
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